$n$項述語

命題論理では真理値の集合である ${\bf V}=\{T,F\}$ が定義されたが，述語論理ではさらに， 何らかの対象の集合${\bf D}$も定義される。これは具体的には 整数の集合${\bf Z}$や実数の集合${\bf R}$であったり，あるいは 日本人全体の集合といったものを表したりする。${\bf D}$は空で ないことが要求される。この${\bf D}$から ${\bf V}=\{T,F\}$ への写像

$${\bf P}:x \in {\bf D} \mapsto {\bf P}(x) \in {\bf V}$$ (3.1)

を1変数の命題関数(propositional function)と呼ぶ。 ${\bf P}(x)$を１変数の述語(predicate)と呼ぶ。

領域${\bf D}$が複数の集合の直積集合 ${\bf D} ={\bf D}_1 \times {\bf D}_2 \times \cdots \times {\bf D}_n (=\{ (x_1, x_2, \cdots ,x_n)\vert x_i \in {\bf D}_i\})$ である場合も考えることできる。これを明示したいときは，${\bf P}$ を $n$ 変数の命題関 数，その表現を $n$ 変数の述語という。

また，集合 ${\bf D}$ を ${\bf P}$ の対象領域(objectdomain)と呼び，${\bf D}$ の各 要素を ${\bf P}$ の対象という。 すなわち，${\bf P}$ は対象領域 ${\bf D}$ 上で定義された命題関数であり， ${\bf P}(x)$は${ D}$ 上の述語である。

たとえば，自然数の全体 $\bf N$ で定義される写像

$$prime:x \in {\bf N} \mapsto prime(x) \in {\bf V}$$

を

$$prime(x) = \left\{ \begin{array}{ll} T & x が素数のとき \\ F & x が素数でないとき \end{array} \right.$$

と定義すれば，この写像は $\bf N$ 上の(1変数)命題関数であり，$prime(x)$ は $\bf N$ 上の(1変数)述語である。 この述語は 　

$$xは素数である$$

という主張を意味する。 $prime(x)$ は，$x$ が素数のとき $T$, 素数でないとき $F$ である。 一般に，命題関数

$${\bf P}:x \in {\bf D} \mapsto {\bf P}(x) \in {\bf V}$$

に対し，${\bf P}(x)$ を「 $x (\in {\bf D})$ は ${\bf P}$ である」と読む。