述語論理

命題論理では，命題を真偽だけをもつ変数として，内容には立ち入らなかった。

$$\begin{eqnarray*} && 1=1 \\ && 2>1 \\ && 「任意のxに対して \quad x=x」 \end{eqnarray*}$$

などは総て，真（$T \in {\bf V}$）として同一のものとして扱った。 これに対し，述語論理( $predicate logic$)では命題の内部構造も考察の対象になる。

ここで再び，第一章で述べた三段論法

$$\begin{eqnarray*} &&{\bf ソクラテスが人間である}ならば{\bf ソクラテスは死すべき... ...る。}\\ &&ゆえに\\ &&{\bf ソクラテスは死すべきものである。} \end{eqnarray*}$$

について考える。 命題論理では命題である

$$\begin{eqnarray*} &&{\bf 「ソクラテスは人間である。」} \\ &&{\bf 「ソクラテスは死すべきものである。」} \end{eqnarray*}$$

というソクラテスについての主張を ${\bf P,Q}$で表し，

$${\bf P} \Rightarrow {\bf Q}, \qquad {\bf P}, \qquad {\bf Q}$$

という記号列が得られるとしてその記号列の操作により正しい結論を得る方法を 調べた。

上のソクラテスに関する命題について「ソクラテス」の固有名詞の代わりに不特定 な対象を表す文字$x$を用いた

$$\begin{eqnarray*} &&{\bf 「xは人間である。」} \\ &&{\bf 「xは死すべきものである。」} \end{eqnarray*}$$

に換えてみよう。そしてこれらをそれぞれ

$${\bf Is\_human}(x), \quad {\bf Is\_motal}(x)$$

で表す。 ${\bf Is\_human}, \quad {\bf Is\_motal}(x)$はそのままでは真理値が決まらない。 $x$に具体的な$ソクラテス$や$狸$を代入して初めて定まる。即ち，前章までに定義した 命題になる。

$${\bf Is\_human}(ソクラテス), \quad {\bf Is\_motal}(ソクラテス)$$

は何れも$T$(真)であるが，

$${\bf Is\_human}(狸), \quad {\bf Is\_motal}(狸)$$

は前者は$F$(偽)であり，後者は$T$(真)となる。

同様に

$${\bf Is\_human}(x) \Rightarrow {\bf Is\_motal}(x)$$

の真理値はそのままでは確定できない。しかし，

$$「任意のxについて{\bf Is\_human}(x) \Rightarrow {\bf Is\_motal}(x)」$$

という主張は$T$(真)である。 ${\bf Is\_human}(x), \quad {\bf Is\_motal}(x)$のように$x$ に特定の対象を代入したときに真偽が確定するものを述語という。 述語論理学では前章までの命題だけではなくこのような述語を含めた 正しい推論の方法を考察する。