述語の論理和・論理積・否定

命題関数 ${\bf P}:x \in {\bf D} \mapsto {\bf P}(x) \in {\bf V})$ に対して

$$x \in {\bf D} \mapsto \neg {\bf P} (x) \in {\bf V}$$ (3.2)

なる命題関数を ${\bf\neg P}(x)$ で表す。 命題関数 ${\bf P,Q}:{\bf D} \to {\bf V}$ が与えられたとき，

$$x \in {\bf D} \mapsto {\bf P}(x) \land {\bf Q}(x) \in {\bf V}$$ (3.3)

なる命題関数を ${\bf P}(x) \land {\bf Q}(x)$ で表す。

同様に，

$${\bf P}(x) \lor {\bf Q}(x), {\bf P}(x) \Rightarrow {\bf Q}(x), \quad {\bf P}(x) \Leftrightarrow {\bf Q}(x)$$ (3.4)

などの述語をつくることもでき， $\neg, \land, \lor, \Rightarrow, \Leftrightarrow$ の性質については，定理2.2と同様のことがらが成立する。

$n$ 変数の述語の変数のうち，$k$ 個 $(k < n)$ の変数に具体的な対象を代 入して得られる新しい述語は，$(n-k)$ 変数になる。 たとえば，事実上の変数 $x,y$ をもつ述語 $x<y$ は$2$変数の述語であり， $x<2\pi$ は$1$変数の述語である。 また，$3<2\pi$ は$0$変数の述語，すなわち命題である。