論理式

命題論理と同様に論理式が以下のように再帰的に定義される。 限定記号で束縛されていない対象変数記号を自由変数記号という。

1. ${\bf P}$が$n$変数述語記号で $s_1,s_2.\cdots,s_n$が項なら ${\bf P}(s_1,s_2.\cdots,s_n)$は論理式
2. ${\cal A}$ が論理式ならば、$\neg{\cal A}$ は論理式である。
3. ${\cal A,B}$ が論理式ならば、
   
   $${\cal A} \land {\cal B}, {\cal A} \lor {\cal B}, {\cal A} \Rightarrow {\cal B}$$
   
   
   は、いずれも論理式である。
4. ${\cal C}(a)$ が対象変数記号$a$を含む論理式で，$a$が自由変数記号のとき， $x$が${\cal C}(a)$の中に現れない対象変数記号ならば
   
   $$(\forall x)({\cal C}(x) ) \quad, (\exists x)({\cal C}(x) )$$
   
   
   は、いずれも論理式である。

上の定義では$T$と$F$以外具体的な論理式は出てこない。${\cal A,B,C}$ は不特定な論理式を表すメタ記号であって，具体的な論理式ではない。 しかし，命題論理の論理式と同様にこれらの規則で無数の論理式を作り だすことができる。