公理

命題論理と同様に述語論理の論理式の全体を ${\bf L_g}$ と書くことにしよう。 対象領域${\bf D}$が無限集合のときは，一般には命題論理の論理式 と異なり，有限回の操作ではその真理値を決定できないことに注意する。 以下にこの教材で扱う公理系を示す。 ${\cal A,B,C}$ は任意の ${\bf L_g}$ の要素とする。 ${\bf 公理系 \beta} \subset {\bf L_g}$ として，次の $(1) \sim (17 )$ をとる。

1. ${\cal A} \Rightarrow {\cal A}$
2. $\cal (A \Rightarrow B) \Rightarrow [(B \Rightarrow C) \Rightarrow (A \Rightarrow C)]$
3. $\cal (A \land B) \Rightarrow B$
4. $\cal (A \land B) \Rightarrow A$
5. $\cal (A \Rightarrow C) \Rightarrow \{ (B \Rightarrow C) \Rightarrow [(A \lor B) \Rightarrow C]\}$
6. $\cal B \Rightarrow (A \lor B)$
7. $\cal A \Rightarrow (A \lor B)$
8. $\cal (C \Rightarrow A) \Rightarrow \{ (C \Rightarrow B) \Rightarrow [C \Rightarrow (A \land B)]\}$
9. $\cal [A \land (A \Rightarrow B)] \Rightarrow B$
10. $[({\cal A} \land {\cal B}) \Rightarrow] F \Rightarrow ({\cal B} \Rightarrow \neg {\cal A})$
11. $({\cal A} \land \neg {\cal A}) \Rightarrow F$
12. $\cal [(A \land C) \Rightarrow B] \Rightarrow [C \Rightarrow (A \Rightarrow B)]$
13. ${\cal A} \Rightarrow T$
14. $F \Rightarrow {\cal A}$
15. $\cal A \lor \neg A$
16. $(\forall x)({\cal A}(x)) \Rightarrow {\cal A}(s)$ (ただし$s$は項)
17. ${\cal A}(s) \Rightarrow (\exists x)({\cal A}(x))$ (ただし$s$は項)