関数の極値条件

実数値関数

$$\phi:\quad {\bf R} \rightarrow {\bf R}$$

が$h=h_0$で極小（極大）であるとは，$h_0$を含むある 開区間

$$\Omega =(h_0-\epsilon,h_0+\epsilon) \quad \epsilon >0$$

が存在して この$\Omega$上では全ての$h \in \Omega$対して

$$\phi(h_0) \leq \phi(h) \ (極小の場合)\quad 　\phi(h) \leq \phi(h_0) \ (極大の場合)$$

が成立つことを言います。要するに$h_0$の近傍で最小（または最大） であるという意味です。
ここで関数

$$\phi:\quad {\bf R} \rightarrow {\bf R}$$

が$h=h_0$で微分可能ならば以下の必要条件が成立ちます。

補題 2.1.1   $\phi(h)$が $h=h_0$で微分可能かつ極小(極大)ならば

$$\frac{d \phi(h)}{dh}(h_0)=0.$$ (2.1)

(証明) $\phi(h)$は$h = 0$で極小であるとすると：(極大の場合も全く同じ)
$\phi(h)$が $h=h_0$で微分可能であるとは次の極限値

$$\lim_{h \rightarrow h_0} \frac{\phi(h)-\phi(h_0)}{h-h_0}$$ (2.2)

が存在することでした。そしてこの極限値を

$$\frac{d \phi(h)}{dh}(h_0)$$

で表しました。
$h$の$h_0$への近づき方は右から($h_0 < h$)でも左から($h < h_0$)でもよく， ２つの極限値

$$\lim_{h \rightarrow h_0, h > h_0} \frac{\phi(h)-\phi(h_0)}{h-h_0}$$ (2.3)

$$\lim_{h \rightarrow h_0, h < h_0} \frac{\phi(h)-\phi(h_0)}{h-h_0}$$ (2.4)

の何れもが存在しこれらは(2.2)式に一致する。
さて$h_0$の右側で十分近い$h_0 < h$ をとると，

$$h-h_0 > 0$$

であり，かつ，極小の条件から

$$\phi(h)-\phi(h_0) \ge 0$$

です。従って，

$$\frac{\phi(h_0)-\phi(h)}{h_0-h} \leq 0$$

であり，この式$h$について

$$h \rightarrow h_0 \quad (h_0<h)$$

とすれば，

$$\lim_{h \rightarrow h_0, h > h_0} \frac{\phi(h)-\phi(h_0)}{h-h_0}　\ge 0$$

が得らます。この極限値は(2.2)式に一致したので，

$$\frac{d \phi(h)}{dh}(h_0)= \lim_{h \rightarrow h_0, h < h_0} \frac{\phi(h)-\phi(h_0)}{h-h_0} \ge 0$$ (2.5)

同様に今度は反対側の左から $h_0$の左側で十分近い$h < h_0$ をとると，

$$h-h_0 < 0$$

$$\phi(h)-\phi(h_0) \ge 0$$

から

$$\frac{\phi(h_0)-\phi(h)}{h_0-h} \le 0$$

であり，この式$h$について

$$h \rightarrow h_0 \quad (h<h_0)$$

とすれば，

$$\lim_{h \rightarrow h_0, h > h_0} \frac{\phi(h)-\phi(h_0)}{h-h_0}　\le 0$$

が得られます。この極限値は(2.2)式に一致するので，

$$\frac{d \phi(h)}{dh}(h_0)= \lim_{h \rightarrow h_0, h < h_0} \frac{\phi(h)-\phi(h_0)}{h-h_0} \le 0$$ (2.6)

結局，(2.5),(2.6)式から

$$\frac{d \phi(h)}{dh}(h_0)= \lim_{h \rightarrow h_0, } \frac{\phi(h)-\phi(h_0)}{h-h_0} = 0$$