演習10

命題6

(その2)

(1)

$x \le x+y,y \le x+y;$
$x+(x+y)=(x+x)+y=x+y$
よって定義から

$$x \le x+y$$

$y+(x+y)=y+(y+x)=(y+y)+x=y+x=x+y$
よって定義から

$$y \le x+y$$

(2)

$x \cdot y \le x ,x \cdot y \le y;$
$x \cdot y +x =x$ よって定義から

$$x \cdot y \le x$$

$x \cdot y+y=y$ よって定義から

$$x \cdot y \le y$$

(3)

$x \le y \Rightarrow x \cdot a \le y \cdot a;$

$$\begin{eqnarray*} x \le y & \Rightarrow & x+y=y \\ & \Rightarrow & (x+y) \cdo... ...\cdot a \\ & \Rightarrow & x \cdot a \le y \cdot a (定義) \\ \end{eqnarray*}$$

(4)

$x \le y \Rightarrow x+a \le y+a;$

$$\begin{eqnarray*} x \le y & \Rightarrow & x+y=y \\ & \Rightarrow & x+y+a=y+a ... ...w & (x+a)+(y+a)=y+a \\ & \Rightarrow & x+a \le y+a (定義) \\ \end{eqnarray*}$$

(5)

$-x \le y \Leftrightarrow x+y=1;$

$$\begin{eqnarray*} -x \le y & \Rightarrow & -x+y=y \\ & \Rightarrow & x+y=x+(-x+y) \\ && \mbox{ } =(x+-x)+y=1+y=1 \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} x+y=1 & \Rightarrow & -x+y=(-x+y) \cdot 1=(-x+y) \cdot (x+y) ... ...cdot x+y \cdot y \\ && \mbox{ } =0+(-x+x) \cdot y+y=y+y=y \\ \end{eqnarray*}$$

(6)

$x \le -y \Leftrightarrow x \cdot y=0;$

$$x \le -y \Rightarrow x \cdot -y=x \Rightarrow x \cdot y=x \cdot -y \cdot y=0$$

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{x \cdot y=0} \\ & \Rightarrow & x \cdot -y=x \cdot... ...&& \mbox{ } =x \cdot -y+x \cdot y=x \cdot (y+-y)=x \cdot 1=x \end{eqnarray*}$$

(7)

$-0=1,-1=0;$
$0+1=1 ~and~ 0 \cdot 1=0$ よって $-0=1$
$1+0=1 ~and~ 1 \cdot 0=0$ よって $-1=0$

(8)

$x \le y \Rightarrow -y \le -x.$
$x+y=y \Rightarrow -x \cdot -y=-y \Rightarrow -y =-x \cdot -y \Rightarrow -y \le -x$

(1)

$x \le x;$ (反射律)

(2)

$(x \le y ~and~ y \le x) \Rightarrow x=y;$ (反対称律)

(3)

$(x \le y ~and~ y \le z) \Rightarrow x \le z.$ (推移律)