上界，下界，上限，下限

順序関係が与えられた$X$の部分集合 $A \subseteq X$ について

$X$の元$x$0が$A$の上界であるとは　$A$の任意の元$a$に対して $a \le x_0$ であることを言います．
$x_0$が$A$の上界である $\Leftrightarrow$

$$(\forall a \in A)(a \le x_0 )$$

item $X$の元$y_0$が$A$の下界であるとは$A$の任意の元$a$に対して$y_0 \le a$であることを言います．
　　　　$y_0$が$A$の下界である $\Leftrightarrow$

$$(\forall a \in A)(y_0 \le a)$$

$A$の上界全体の集合 $U[A]$ が空集合でないとき―すなわち， 　$A$の上界$x_0 \in X$が少なくとも1つ存在するとき―$A$は上に有界であるといいます．
$A$は上に有界である $\Leftrightarrow$

$$U[A] \ne \phi \Leftrightarrow (\exists x_0 \in X)~(\forall a \in A)~(a \le x_0 )$$

$U[A]$の最小元を―これが存在すれば―$A$の上限といい $\sup (A)$で表します．

$$\begin{eqnarray*} &&\sup (A)=min\{ U[A]\}\\ && (\forall a \in A)(a \le \sup (... ... a \in A)(a \le x_0 ) \\ &&\Rightarrow (\sup (A) \le x_0 )\} \end{eqnarray*}$$

$A$の下界全体の集合$L[A]$ が空集合でないとき―すなわち， 　$A$の下界$y_0 \in X$が少なくとも1つ存在するとき―$A$は下に有界であるといいます．
$A$は下に有界である $\Leftrightarrow$

$$L[A] \ne \phi \Leftrightarrow (\exists y_0 \in X)(\forall a \in A)(y_0 \le a)$$

$L[A]$の最大元を―これが存在すれば―$A$の下限といい$inf(A)$で表します．

$$\begin{eqnarray*} &&\inf (A) = \max \{ L[A]\} \\ &&(\forall a \in A)~(\inf (A... ...orall a \in A)(y_0 \le a) &&\Rightarrow (x_0 \le \inf (A))\} \end{eqnarray*}$$