全順序

$X$上の順序関係がさらに(4）を満たすとき，全順序関係と言います．

(1）$X$の任意の元$x \in X$について　$x \le x$
　 　　　

$$(\forall x \in X)(x \le x)$$

（2）$X$の任意の二つの元$x \in X$,$y \in X$について$(x \le y)$ならば$(y \le x)$
　　　

$$(\forall x \in X)~~(\forall y \in X)~~(x \le y~and~y \le x \Rightarrow x = y)$$

（3）$X$の任意の三つの元$x,y,z \in X$について　$x \le y$　かつ　$y \le z$　ならば　$x \le z$

$$(\forall x \in X)~~(\forall y \in X)~~(\forall z \in X)~~((x \le y~and~y \le z) \Rightarrow x \le z)$$

(4）$X$の任意の三つの元$x,y \in X$について　$x \le y$　かまたは 　$y \le x$

　　　

$$(\forall x \in X)~~(\forall y \in X)~~(x \le y~oS~y \le x)$$

これと等価な条件は

(1'） $S \cap S^{ - 1} = \Delta$

(2'） $S \cdot S \subseteq S$

(3'） $S \cap S^{ - 1} = X \times X$

問題　同値関係の説明と同様にして

(1) 〜 (4) $\Leftrightarrow ~$(1') 〜 (4')であることを示して下さい．

問題

　$X=\{ a,b,c \}$とするとき　

　 $S= \{ (a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,c),(c,c)\}$

　は全順序関係の例です．他の例を作ってください．