写像の標準分解

$f:X \to Y$とします．$X$上の同値関係$xRy$を$f(x)=f(z)$で定義します．$R$の直積による表現は

$$R := \{ (x,z) \vert x \in X~and~z \in X~and~f(x) = f(z)\}$$

です．

$X$から $X/R$への写像$p$を

$$p:x \in X \mapsto \rho (x) \in X/R$$

で定義します．

このとき $X/R$から$f(X)$への写像$f_{R}$ が

$$\begin{eqnarray*} &&f_{R}:\rho (x) \in X /R \mapsto f(x) \in f(X) \\ &&f = (\{ (\rho (x),f(x))\vert x \in X\} ,X /R,f(X)) \end{eqnarray*}$$

で定義され，これは双射で

$$f = id_{Y} \cdot (f_{R}) \cdot p$$

ここで$id_{Y}$　は$Y$上の恒等写像　

$$(\forall y \in Y)(id_{Y}(y) = y)$$

という関係が成り立っています．これを$f$の標準分解と言います．

[証明]

$(1)$ まず，

$$f_{R}:\rho (x) \in X/R \mapsto f(x) \in f(X)$$

が写像を定義していることを確認します．すなわち

$$f = (\{ (\rho (x),f(x))\vert x \in X\} ,X/R,f(X))$$

が写像になっていることを確認します．
$\rho (x)$は$x$と$R$について同値な$z$によって $\rho(x)=\rho(z)$となります．
この$z$は$x$と等しいとは限りません．代表元の取り方が異なるわけです．
しかし，この$z$を用いて $f_{R}(\rho (x)) = f(z)$としても，$z$は$x$と$R$について同値ゆえ$f(x)=f(z)$となります． 結局

$$f(x) = f_{R}(\rho (x)) = f_{R}(\rho (z)) = f(z)$$

が成り立っています．

$$G_{f} = \{ (\rho (x),f(x))\vert x \in X\}$$

　として

$$(\rho (x),f(x)),\rho (z),f(z) \in G_{f}$$

で $\rho(x)=\rho(z)$なら$f(x)=f(z)$ が成り立っていますので$G_{f}$は関数のグラフになっています．

$(2)$ 次に，$f_{R}$が全射であることを確認します．
$y$が$f(X)$の元ならある$X$の元$x$が存在して $y=f(x)$です．
この$x$の同値類 $\rho (x) \in X/R$に$f_{R}$を作用させれば

$$f_{R}(\rho (x)) = f(x) = y$$

です．
即ち，

$$(\forall y \in Y)(\exists s \in X/R)(f_{R}(s) = y)$$

これは$f_{R}$であることを示しています．

$(3)$ 今度は，$f_{R}$が単射であることを確認します．
$s,v \in X/R$ を任意にとり $f_{R}(s)=f_{R}(v)$とすると
$s \in X/R$ですから，ある$x \in X$が存在して，
$\rho(x)=s$
同様に $v \in X/R$ですから，
ある$z \in X$ が存在して，$\rho(z) = v$
$f_{R}$の定義から

$$f_{R}(s) = f(x), f_{R}(v) = f(z)$$

これらと $f_{R}(s)=f_{R}(v)$から
$f(x)=f(z)$
よって$x$と$z$は関係$R$について同値．
従って

$$s = \rho (x) = \rho (z) = v$$

$s,v \in X/R$を任意にとっていましたから

$$(\forall s \in X/R)(\forall v \in X/R) (f_{R}(s) = f_{R}(v) \Rightarrow s = v)$$

これは$f_{R}$が単射であることを示しています．

$(4)$ 最後に
任意の$x \in X$について

$$\begin{eqnarray*} (id_{Y} \cdot (f_{R}) \cdot p)(x) &=& (id_{Y} \cdot (f_{R}... ...{Y}(f_{R}(\rho (x))) \\ &=& id_{Y}(f (x)) \\ &=& f(x) \\ \end{eqnarray*}$$

が成り立っています．
よって，

$$f = id_{Y} \cdot (f_{R}) \cdot p$$

[証明終]

問題

（1）　 $X=\{ a,b,c,d\},~~~~Y=\{ 0,1\}$ とします．

$f=(\{ (a,1),(b,0),(c,1),(d,0)\},X,Y)$

の標準分解を求めてください．

（2） $f:n \in Z \mapsto n(\bmod 7) \in \{ 0,1,2,3,4,5,6\}$

の標準分解を求めてください．

$n(\bmod 7)$は$n$を$7$で割った余りを表します．