順序関係

$X$上の関係$S$が特に 次をみたすとき$S$は順序関係と言います．

(1）$X$の任意の元$x \in X$について　$xSx$　
　

$$(\forall x \in X)(xSx )$$

(2）$X$の任意の二つの元$x \in X$,$y \in X$について$xSy$ならば$ySx$ 　　　　

$$(\forall x \in X)(\forall y \in X)(xSy~and~ySx \Rightarrow x = y)$$

(3）$X$の任意の三つの元$x,y,z \in X$について$~xSy~$かつ$~ySz~$ならば$xSz~$ 　　　　　

$$(\forall x \in X)~~(\forall y \in X)~~(\forall z \in X)~~((xSy~and~ySz) \Rightarrow xSz)$$

以後，$xSy$を$x \le y$で表します．

(1)$X$の任意の元$x \in X$について　$x \le x$　 　　　

$$(\forall x \in X)(x \le x)$$

(2）$X$の任意の二つの元$x \in X$,$y \in X$について$x \le y$ならば$y \le x$

$$(\forall x \in X)~~(\forall y \in X)~~(x \le y~and~y \le x \Rightarrow x = y)$$

(3）$X$の任意の三つの元$x,y,z \in X$について$x \le y$かつ$y \le z$ならば$x \le z$

$$(\forall x \in X)~~(\forall y \in X)~~(\forall z \in X)~~((x \le y~and~y \le z) \Rightarrow x \le z)$$

$\Delta = \{ (x,x)\vert x \in X\}$ とおき，写像のグラフと同様に

$$\begin{eqnarray*} &&S^{ - 1} = \{ (y,x)\vert(x,y) \in S\} \\ &&S \cdot S = \{ (x,z)\vert(\exists y)((x,y) \in S~and~(y,z) \in S)\} \end{eqnarray*}$$

とすると上の条件 は以下の(1'),(2')と同じです．

(1')

$$S \cap S^{ - 1} = \Delta$$

　

(2 '）

$$S \cdot S \subseteq S$$

問題

　$X=\{ a,b,c \}$とするとき

$S=\{ (a,a),(a,b),(b,b),(c,c)\}$　

は順序関係の例です．他の例を作ってください．

問題　同値関係の説明と同様にして

(1) $~and~$ (2) $~and~$ (3) $\Leftrightarrow$ (1') $~and~$ (2')であることを示して下さい．