べき乗

基数$Card(Y)$の$Card(X)$乗を次のように定義できます。

$$Card(Y)^{Card(X)}=Card(Y^X)$$

問題6.3(指数法則)

以下を証明してください。

(0)　上の定義は $Card(X),Card(Y)$の代表元の取り方に依存しません。 　　　　　 $X \sim X'　Y \sim Y'$　すなわち、

$$Card(X)=Card(X'),Card(Y)=Card(Y')$$

　　　　　とすると、

$$Card(Y^X)=Card({Y'}^{X'})$$

を証明してください。

(1)　

$$Card(Y)^{Card(X)} \cdot Card(Y)^{Card(Z)}=Card(Y)^{Card(X)+Card(Z)}$$

(2)　

$${ Card(Y)^{Card(X)}}^{Card(Z)} =Card(Y)^{Card(X) \cdot Card(Z)}$$

(3)　

$$Card(Y)^2=Card(Y) \cdot Card(Y)$$