限定記号

$１$変数命題関数 ${\bf P}$

$${\bf P}:x \in {\bf D} \mapsto {\bf P}(x) \in {\bf V}$$ (3.5)

が与えられたとき,命題

$$\bigwedge_{x \in {\bf D}} {\bf P}(x)$$ (3.6)

を

$$( \forall x) ({\bf P}(x)) \qquad あるいは (\forall x \in {\bf D})( {\bf P}(x))$$

で表そう。ここで ${\bf D}$が有限個の要素からなる場合,すなわち

$${\bf D}=\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n \}$$ (3.7)

の場合は

$$\bigwedge_{x \in {\bf D}} {\bf P}(x)={\bf P}(a_1) \land {\bf P}(a_2) \land \cdots \land {\bf P}(a_n)$$ (3.8)

であり,${\bf D}$が無限集合の場合は ${\bf D}$の要素$x$について${\bf P}(x)$の総てに亘る論理積を表している。

この命題の真理値は，

$$(\forall x \in {\bf D})({\bf P}(x) ) = \left\{ \begin... ...F になる x \in {\bf D} が存在するとき \end{array} \right.$$ (3.9)

となる。 領域${\bf D}$が明白なときは$\in {\bf D}$を省略する。 $(\forall x)({\bf P}(x))$ は「任意の(すべての) $x$ に対し ${\bf P}(x)$ が 成立する」ことを表している。

また

$$\bigvee_{x \in {\bf D}} {\bf P}(x)$$ (3.10)

を

$$( \exists x) ({\bf P}(x)) \qquad あるいは (\exists x \in {\bf D})( {\bf P}(x))$$

で表そう。ここで ${\bf D}$が有限個の要素からなる場合,すなわち

$${\bf D}=\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n \}$$ (3.11)

の場合は

$$\bigvee_{x \in {\bf D}} {\bf P}(x)={\bf P}(a_1) \lor {\bf P}(a_2) \lor \cdots \lor {\bf P}(a_n)$$ (3.12)

であり,${\bf D}$が無限集合の場合 は${\bf D}$の要素$x$について${\bf P}(x)$の総て の論理和である。 この命題の真理値は

$$( \exists x \in {\bf D})({\bf P}(x) ) = \left\{ \begin... ... {\bf D} に対し {\bf P}(x) = F のとき \end{array} \right.$$ (3.13)

である。上と同様に領域${\bf D}$が明白なときは$\in {\bf D}$を省略する。

$$(\exists x )({\bf P}(x))$$

は「${\bf P}(x)$ を満たす $x$ が存在する」こと を表わしている。

${\bf P}(x)$ が1変数の述語の場合は， $(\forall x)({\bf P}(x)), (\exists x)({\bf P}(x))$ はともに$0$変数の述語，すなわち命題になることに 注意しておく。 $2$変数の述語に$\forall$ や$\exists$ を作用させれば $1$変数の述語になる。
例えば，

$${\bf P}(x,y)$$

を２変数の述語とすれば

$$(\forall x \in {\bf D})( {\bf P}(x,y))=\bigwedge_{x \in {\bf D}} {\bf P}(x,y)$$ (3.14)

$$(\exists x \in {\bf D})( {\bf P}(x,y))=\bigvee_{x \in {\bf D}} {\bf P}(x,y)$$ (3.15)

は$y$についての$1$変数の述語になっている。

${\bf D}$が有限集合

$${\bf D}=\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n \}$$

の場合なら，このことはさらに判りやすくなる。実際，

$$\bigwedge_{x \in {\bf D}} {\bf P}(x,y) ={\bf P}(a_1,y) \land {\bf P}(a_2,y) \land \cdots \land {\bf P}(a_n,y)$$ (3.16)

$$\bigvee_{x \in {\bf D}} {\bf P}(x,y) ={\bf P}(a_1,y) \lor {\bf P}(a_2,y) \lor \cdots \lor {\bf P}(a_n,y)$$ (3.17)

で

$${\bf P}(a_i,y) \quad i=1,2,\cdots,n$$

は$y$についての$1$変数の述語であり，それらの論理積，論理和も$1$変数の述語で ある。

同様に$n$変数の述語に $\forall$ や$\exists$ を作用させると $(n-1)$ 変数の述語になる。 $n$変数の述語

$${\bf P}(x_1, \cdots, x_{i-1}, x_i, x_{i+1}, \cdots, x_n)$$ (3.18)

について$x_i$について$\forall$ や$\exists$を作用させれば

$$(\forall x_i \in {\bf D})( {\bf P}(x_1, \cdots, x_{i-1}, x_i, x_{... ...edge_{x_i \in {\bf D}} {\bf P}(x_1, \cdots, x_{i-1}, x_i, x_{i+1}, \cdots, x_n)$$ (3.19)

$$(\exists x_i \in {\bf D})( {\bf P}(x_1, \cdots, x_{i-1}, x_i, x_{... ...gvee_{x_i \in {\bf D}} {\bf P}(x_1, \cdots, x_{i-1}, x_i, x_{i+1}, \cdots, x_n)$$ (3.20)

は $x_1, \cdots, x_{i-1}, x_i, x_{i+1}, \cdots, x_n$についての$n-1$変数の述語になっている。

$\forall$ を全称記号(universal quantifire)，$\exists$ を 存在記号(existential quantifire)と呼び，両者をあわせて 限定記号という。