推論規則と証明

命題論理での推論規則は，次の三段論法(modus ponens)のみであったが 述語論理ではこれに限定記号 $\forall,\quad \exists$の作用の規則 が加わる。（全称化と特称化） 命題論理のときと同様，横線の上の論理式から下の論理式が導かれることを表わす。

1. 三段論法
   
   $$\frac{{\cal A} \quad {\cal A} \Rightarrow {\cal B}}{\cal B}$$
   
   

2. 　全称化
   
   $$\frac{{\cal A} \Rightarrow {\cal B}(a)} {{\cal A} \Rightarrow (\forall a)({\cal B}(a))}$$
   
   
   ただし$a$は自由変数記号で$\cal A$には現れないものとする。
3. 　特称化
   
   $$\frac{{\cal A}(a) \Rightarrow {\cal B}}{(\exists a)({\cal A}(a)) \Rightarrow {\cal B}}$$
   
   
   ただし$a$は自由変数記号で$\cal B$には現れないものとする。