推論法則

命題論理と同様に「証明」の中で推論規則と公理を何回か適用する共通した手順を「推論法則」と呼ぶ。（これ自身は公理系を定義するのに必須ではないが，それを操作する上で便利な手続きをまとめたもの。） 以下に推論規則の例を述べる。（総て命題論理と同じ形の規則である。）

［例］

$$\frac{\cal A }{{\cal B} \Rightarrow {\cal A}} \qquad ({\bf 推論法則：添加})$$

$\cal A$が証明可能な論理式ならば $\cal B \Rightarrow A$も 証明可能な論理式であることを表す。 (上の「証明」の例に現れている。)

$$\frac{\cal A,B }{\cal A \land B} \qquad ({\bf 推論法則：論理積})$$

$$\frac{\cal A \land B }{\cal B \land A} \qquad ({\bf 推論法則：交換})$$

$$\frac{\cal A \lor B }{\cal B \lor A} \qquad ({\bf 推論法則：交換})$$

$$\frac{\cal A }{\lnot \lnot A},\quad \frac{\lnot \lnot A}{A} ({\bf 推論法則：２重否定})$$

$$\frac{ \cal A \Rightarrow B ,B \Rightarrow C } {\cal A \Rightarrow C}({\bf 推論法則：推移})$$

$$\frac{ \cal A \Rightarrow (B \Rightarrow C) ,A \Rightarrow B } {\cal A \Rightarrow C}　({\bf 推論法則：復推移})$$

上述の体系を $H$ と呼ぶことにしよう。（ $H = 公理系 {\bf\beta} + 「推論規則」$） ${\bf L_g}$の論理式 $\cal A$ が証明可能であるとは， $H$ において，公理系 ${\bf\beta}$ から $\cal A$ が推論規則 によって導けることであるから，これを

$$\vdash_H \cal A$$

と書く。推論規則

$$\frac{\cal A \quad A \Rightarrow B}{\cal B}$$

はこの表記法を用いると，

$$\frac{\vdash_H {\cal A} \quad \vdash_H {\cal A \Rightarrow B}}{\vdash_H {\cal B}}$$

と書くべきである。しかし，どの系で証明可能なのか明らかな場合は $\vdash_H$は省略することにする。