補足2

ところで，(2.3) がいえるためには，

$$\rho(x, c) = \frac{(\Delta f'(x))^2}{2 \{1+(f'_0(x)+ c \Delta f'(x))^2\}^{\frac{3}{2}}}$$

と置いたとき，ある正数$K > 0$ が存在して， 任意の

$$(x, c) \in [0, 1] \times [-1, 1]$$

に対して

$$\vert\rho (x, c) \vert < K$$ (2.20)

が言えればよいことになります。
これも再び，微積分の復習になりますが，以下の定理を使います。

定理 2.5.1   $X$ を $\\ bfR^2$ の有界閉集合， $\rho$ を $X$ 上の 連続関数とするとき， $\rho$ は $X$ で最大値，最小値をとる。すなわち， $\rho(X)$ は最大値，および最小値をもつ。

先ずこの定理を用いて(2.20)を示しておきましょう。
((2.20) の証明) $[0, 1] \times [-1, 1] \in \\ bfR^2$ は有界閉集合です。
$f_0 \in C^2[0, 1], \, \Delta f \in C^2[0,1]$ であるから，

$$f_0' \in C^1[0, 1] \subset C[0, 1], \, \Delta f' \in C^1[0,1] \subset C[0,1]$$

. さらに， $0 < \vert c\vert < \vert h\vert$ であり， 分母が $0$ になることはなく，

$$\rho \in C[0, 1] \times [-1, 1]$$

. 以上から，定理より $\rho$ は

$$(x, c) \in [0, 1] \times [-1, 1]$$

で最大値 $M = \max \rho(x, c)$，最小値 $m = \min\rho(x,c)$ を持ちます。 よって， $K > \max(\vert M\vert, \vert m\vert)$ となるような $K$ が存在します。

さて上の定理を順を追って証明しよう。

集積点と閉集合の定義は以下の通りです。　

定義 2.5.1   $X \subset \\ bfR^2$ とする。

1. $(x_0, c_0)$ が集積点であるとは， $X$ の元からなる点列 $\{(x_n, c_n)\}$で， $(x_n, c_n) \ne (x_0, c_0)\\ \displaystyle \lim_{n \to \infty} (x_n, c_n) = (x_0, c_0)$ となるものが存在するときにいう。
2. $X$ の集積点がすべて $X$ の元であるとき，$X$ を閉集合という。

大抵の解析学の教科書には載っていますが, $Bolzano-Weirstraus$の定理を証明しておきます。

定理 2.5.2 (Bolzano-Weirstraus)   点列 $\{(x_n, c_n)\}$ が有界であれば，その中から収束する部分列を取り出すこと ができる。

(区間縮小法による証明)

[区間縮小の原理]

実数の単調増加列$\{p_k\}$ と単調減少列$\{q_k　\}$ により　区間の列$[p_k, q_k]$ を構成し，その区間の長さが

$$\vert q_{(k+1)}-p_{(k+1)}\vert \le \frac{1}{2} \vert q_k-p_k\vert ~~k=1,2,\cdots$$

のように縮小すると, $\{p_k\}$ ,$\{q_k\}$の極限

$$\lim_{k \to\infty} p_k = \alpha, \, \lim_{k \to \infty} q_k = \beta$$

が存在して

$$\alpha=\beta$$

となります。これを用いて定理を証明します。

まず,有界な数列 $\{x_n\}$ から収束する部分列をと りだすことができることを示します。
数列 $\{x_n\}$が有界ならば,

$$\forall n \in {\bf N} , \; \vert x_n\vert \le L$$

となる $L$ が存在します。
　　$\{x_n\}$ の中に同じ数が無限回現れるときは，その 番号を次々に取り出して $x_{n_1} = x_{n_2} = x_{n_3} = \cdots$ とできます。

$\{x_{n_k}\}$ は明らかに収束列です。したがって，はじめから $\{x_n\}$ の中には相異なる数が無限個存在するとして良いわけです。

そうしておくと，区間 $[-L, 0], \, [0, L]$ のうち少なくとも一方は $\{x_n\}$ の(相異なる)元を無限個含みます。
それを $A_1$ とおきます。

$$A_1 = [p_1,q_1]$$

に含まれる $\{x_n\}$ の元を一つ取って， それを $\{x_{n_1}\}$ といます。

次に，$A_1$ を二つの部分

$$\left[p_1, \frac{p_1 + q_1}{2}\right], \, \left[\frac{p_1 + q_1}{2}, q_1\right]$$

に分けると，少なくとも一方は$\{x_n\}$ の元を無限個含むことになります。

それを

$$A_2 = [p_2, q_2]$$

とおきます。
$A_2$ に含まれる $\{x_n\}$ の元で $n_1$ より大きい番号のものを一つ取りだし，それを $\{x_{n_2}\}$ とします。
$A_2$ を二つの部分

$$\left[p_2,\frac{p_2 + q_2}{2}\right], \, \left[\frac{p_2 + q_2}{2}, q_2\right]$$

に分けます。

以下同様の手続きを繰り返します。
これを続けることにより，次のような閉区間の列 $\{A_k\}$ と $\{x_n\}$ の部分列 $\{x_{n_k}\}$ を作ることができます。

1. $A_k = [p_k, q_k]$ とおくと，$\{p_k\}$ は単調増加列，$\{q_k\}$ は単調減少列で $$q_k - p_k = \frac{L}{2^{k - 1}}$$
2. $x_{n_k} \in A_k$，すなわち $p_k \le x_{n_k} \le q_k$

実数の有界な単調列は収束しますから，

$$\lim_{k \to\infty} p_k = \alpha, \, \lim_{k \to \infty} q_k = \beta$$

が存在します。
上の 1. より

$$\alpha=\beta$$

です。

2. より

$$\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = \alpha = \beta$$

を得ます。

　さて,実数列 $\{x_n\}, \, \{c_n\}$ は有界でしたから,ま ず 上の議論により，$\{x_n\}$ から収束する部分列が取り出せます。
それを $\{x_{n_k}\}$ で表し

$$\lim_{k \to \infty } x_{n_k} = x_0$$

　とおきます。
次に，全く同様に$\{c_{n_k}\}$ も有界ですから収束する部分列が取り出せるので， それを $\{c_{n_l}\}$ であらわし，

$$\lim_{l \to \infty } c_{n_l} = c_0$$

とおきます。

すると

$$\{n\} \supset \{n_k\} \supset \{n_l\}$$

となります。

$(x_{n_l}, c_{n_l})$ は $(x_n, c_n)$ の部分列であって，

$$x_{n_l} \to x_0, \, c_{n_l} \to c_0$$

です。 よって，

$$\lim_{l \to \infty} (x_{n_l}, c_{n_l}) = (x_0, c_0)$$

です。

集合論のWEB教材でも説明しましたが，

定義 2.5.2   実数の集合の部分集合 $Y \subset {\bf R}$ について， 以下の条 件を満たす $y_0$ を$Y$ の上限といい，$\sup Y$ と書きます。

1. $\forall y \in Y$ に対して，$y \le y_0$
2. $\forall \varepsilon > 0$ に対して， $y_0 - \varepsilon < y_{\varepsilon}$ となる $\exists y_{\varepsilon} \in Y$ が存在する。

以上の準備の下に，

定理 2.5.3   $X$ を ${\bf R^2}$ の有界閉集合， $\rho$ を $X$ 上の 連続関数とする。このとき， $\rho$ は $X$ で最大値，最小値をとる。すなわち， $\rho(X)$ は最大値，および最小値をもつ。

(証明)まず$\rho(X)$は有界です。実際， $\rho(X)$ が有界でなかったとすると，

$$(x_n, c_n) \in X, \; \vert\rho(x_n, c_n)\vert > n, \quad n = 1, 2, \cdots$$ (2.21)

となる数列 $\{(x_n, c_n)\}$ がとれます。

$X$ は有界閉集合ですから，, $Bolzano-Weirstraus$の定理によって $\{(x_n, c_n)\}$ は収束する部分列を含み，かつその極限値もまた $X$ に属します。

その一つを $\{(x_{n_k}, c_{n_k})\}$ とおき，

$$\lim_{k \to \infty}(x_{n_k}, c_{n_k}) = (x_0, c_0) \in X$$

とおくと,$\rho$ の連続性より

$$\lim_{k \to \infty} \rho(x_{n_k}, c_{n_k}) =\rho(x_0, c_0)$$

.

ところが一方，(2.21) より，

$$\lim_{k \to \infty} \rho(x_{n_k}, c_{n_k}) = \infty$$

. が成り立っていてこれは矛盾です。

さて以上によって$\rho(X)$ は有界でしたから，

$$M = \sup \rho(X), \,m = \inf \rho(X)$$

となる $M, m \in \\ bfR$ があります。

この$M,m$が $M = \max \rho(X), \,m = \min \rho(X)$ となることを示しましょう。

まず，上限の定義から

$$\lim_{n \to \infty} \rho(x_n, c_n) = M$$

となるような $X$ の元からなる数 列 $\{(x_n, c_n)\}$ がとれます。
この列はに収束しますから,有界です。
そこで, $Bolzano-Weirstraus$の定理によって $\{(x_n, c_n)\}$ から収束する部分列 $\{(x_{n_k}, c_{n_k})\}$ をとりだし，

$$\lim_{k \to \infty}(x_{n_k}, c_{n_k}) = (x_0, c_0)$$

とすると， $(x_0, c_0) \in X$ であり $\rho$ の連 続性から

$$\lim_{k \to \infty} \rho(x_{n_k}, c_{n_k}) =\rho(x_0, c_0)$$

となります。 ゆえに， $M = \rho(x_0, c_0)$.よって $M$ は最大値 です。最小値の場合も同様です。