ノルム線形空間

さて，${\bf R}$やそれから作られる$n$次元数ベクトル空間${\bf R^n}$については 線形空間であるという性質以外に絶対値やノルムが定義されていました。 これも復習しておきます。

${\bf R}$についてはその要素 $x \in {\bf R}$に対して絶対値とよばれる負でない数$\vert x\vert$が対応して

$$\begin{eqnarray*} % latex2html id marker 470&& 任意のx \in {\bf R}について 0 \... ...のx,y \in {\bf R}について \vert xy\vert=\vert x\vert\vert y\vert \end{eqnarray*}$$

同様に${\bf R^n}$の要素${\bf x}$についても${\bf R}$での絶対値のように ノルムと呼ばれる負でない数$\vert\vert{\bf x}\vert\vert$が対応して

$$\begin{eqnarray*} % latex2html id marker 480&& 任意の{\bf x} \in {\bf R^n }に.. ...{\bf x}\vert\vert=\vert\alpha \vert ~\vert\vert{\bf x}\vert\vert \end{eqnarray*}$$

が成り立っています。

${\bf R^n}$の要素

$${\bf x}=\left ( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \dots\\ x_n \end{array}\right ),$$

のノルム$\vert\vert{\bf x}\vert\vert$の定義の方法は幾通りかありました。

$$\begin{eqnarray*} &&\vert\vert{\bf x}\vert\vert _1=max \{\vert x_1\vert,\vert x_... ...sqrt{\vert x_1\vert^2 +\vert x_2\vert^2+\cdots+\vert x_n\vert^2} \end{eqnarray*}$$

[問題3.3]

上の３つが何れもノルムを定義することを確かめてください。また,

$$\vert\vert{\bf x}\vert\vert _1, \vert\vert{\bf x}\vert\vert _2, \vert\vert{\bf x}\vert\vert _3$$

について次の関係があることを確かめて下さい。

ある正数$k_{12}>0$が存在して,任意の ${\bf x} \in{\bf R^n}$ について

$$\vert\vert{\bf x}\vert\vert _1 \le k_{12} \vert\vert{\bf x}\vert\vert _2$$

ある正数$k_{23}>0$が存在して,任意の ${\bf x} \in{\bf R^n}$ について

$$\vert\vert{\bf x}\vert\vert _2 \le k_{23} \vert\vert{\bf x}\vert\vert _3$$

ある正数$k_{31}>0$が存在して,任意の ${\bf x} \in{\bf R^n}$ について

$$\vert\vert{\bf x}\vert\vert _3 \le k_{31} \vert\vert{\bf x}\vert\vert _1$$

定義 1.2.1   $L$を線形空間とし，$L$上に, その要素$f$に負でない数$\vert f\vert$を対応させる写像

実数値関数

$$f \in L \mapsto \vert f\vert \in {\bf R}$$

が定義され,$\vert f\vert$が次の条件をみたすとき$L$をノルム(線形)空間といいます。

$$1, \,(正値性)\quad \Vert f\Vert \geq 0,f=0のときだけ\Vert f\Vert=0$$

$$2, \,(スカラー倍)\quad \Vert\alpha f \Vert = \vert\alpha \vert\Vert f\Vert \quad(\alpha:任意定数)$$

$$3, \,(三角不等式)\quad \Vert f+g\Vert \le \Vert f\Vert + \Vert g\Vert$$

[例1]

例1 $f \in C[0,1]$のノルムを

$$\Vert f\Vert _C \mbox{$\stackrel{\triangle}{=}$}\max_{x \in [0,1]}\vert f(x)\vert$$ (1.2)

と定義するノルム線形空間になります。

(証明) (1.4)式より明らかに $\Vert f\Vert _C \geq 0.$また$f \equiv 0$ならば$\Vert f\Vert _C=0.$
そして$\Vert f\Vert _C=0$ならば

$$\Vert f\Vert _C= \max_{x \in [0,1]}\vert f(x)\vert=0となるのでf \equiv 0.$$

$$\Vert f+g\Vert _C = \max_{x \in [0,1]}\vert f(x)+g(x)\vert \le \max_{x \in [0,1]}(\vert f(x)\vert+\vert g(x)\vert)$$

$$\le \max_{x \in [0,1]}\vert f(x)\vert+\max_{x \in [0,1]}\vert g(x)\vert$$

$$= \Vert f\Vert _C+\Vert g\Vert _C$$

$$\Vert\alpha f\Vert _C = \max_{x \in [0,1]}\vert\alpha f(x)\vert = \max_{x \in [0,1]}\vert\alpha\vert\vert f(x)\vert =\vert\alpha\vert\max_{x \in [0,1]}\vert f(x)\vert$$

$$= \vert\alpha\vert \Vert f\Vert _C$$

以上より(正値性),(スカラー倍),(三角不等式)が示されノルム空間となります。

例2 $f \in C[0,1]$のノルムを

$$\Vert f\Vert _l \mbox{$\stackrel{\triangle}{=}$}\int_0^1\vert f(x)\vert\,dx$$ (1.3)

で定義してもノルム線形空間になります。

(証明)
(1.7)式より明らかに

$$\Vert f\Vert _l \geq 0.$$

また$f \equiv 0$ならば$\Vert f\Vert _l=0.$
そして$\Vert f\Vert _l =0$ならば

$$\Vert f\Vert _l = \int_0^1\vert f(x)\vert\,dx=0$$

となるので$f\equiv 0.$

$$\Vert f+g\Vert _l = \int_0^1\vert f(x)+g(x)\vert\,dx \le \int_0^1(\vert f(x)\vert+\vert g(x)\vert)\,dx$$

$$= \int_0^1\vert f(x)\vert\,dx+\int_0^1\vert g(x)\vert\,dx$$

$$= \Vert f\Vert _l+\Vert g\Vert _l$$

$$\Vert\alpha f\Vert _l = \int_0^1\vert\alpha f(x)\vert\,dx=\vert\alpha\vert\int_0^1\vert f(x)\vert\,dx$$

$$= \vert\alpha\vert \Vert f\Vert _l$$

以上より(正値性),(スカラー倍),(三角不等式)が示されノルム線形空間となります。

例3 $f \in C^1[0,1]$は以下のノルムで,ノルム線形空間になります。

$$\begin{eqnarray*} &&\Vert f\Vert _{C^1,1} \mbox{$\stackrel{\triangle}{=}$}{\max... ...{$\stackrel{\triangle}{=}$}{ \Vert f\Vert _l+\Vert f'\Vert _l } \end{eqnarray*}$$

[問題3.4] 　上を証明してください。