Banach空間

定義 1.3.1   $L$を線形空間とし，$L$上に実数値関数

$$f \in L \mapsto \vert f\vert \in {\bf R}$$

が定義され,$\vert f\vert$が次の条件をみたすとき$L$をノルム(線形)空間と定義しました。

$$1, \,(正値性)\quad \Vert f\Vert \geq 0,f=0のときだけ\Vert f\Vert=0$$

$$2, \,(スカラー倍)\quad \Vert\alpha f \Vert = \vert\alpha \vert\Vert f\Vert \quad(\alpha:任意定数)$$

$$3, \,(三角不等式)\quad \Vert f+g\Vert \le \Vert f\Vert + \Vert g\Vert$$

このノルムは実数${\bf R}$の絶対値$\vert x\vert$の一般化です。 さらにこれを用いて実数の集合${\bf R}$や数ベクトル空間${\bf R^n}$の「完備性」の一般化が可能になります。

定義 1.3.2 (Caushy列)   ノルム空間$L$の点列 $\{f_n\}^{\infty}_{n=1}$がCaushy列(あるいは基本列) であるとは,

$$\Vert f_n - f_m\Vert \to 0 \quad ( n,m \to 0 )$$

が成り立つことです。

定義 1.3.3   ノルム線形空間$L$の任意のCaushy列が収束するとき，$L$は完備(complete)であるといいます。

定義 1.3.4   完備なノルム線形空間をBanach空間といいます。

例1 $f \in C[0,1]$のノルムを

$$\Vert f\Vert _C \mbox{$\stackrel{\triangle}{=}$}\max_{x \in [0,1]}\vert f(x)\vert$$ (1.4)

で定義するとBanach空間になります。

(証明) ノルム線形空間であるは前節で証明しました。
完備性を示します。
関数列$\{f_n\}$がCaushy列と仮定すると，

$$% latex2html id marker 1450 \forall \varepsilon >0, \, \e... ... $N$}, \, \forall m,n>N_1(\varepsilon),\,\forall x_0 \in [0,1]$$

$$\vert f_n(x_0) - f_m(x_0)\vert<\frac{\varepsilon}{2}$$ (1.5)

です。すなわち任意の$x_0 \in [0,1]$に対して$\{f_n(x_0)\}$は
Caushy列です。従って実数の完備性により

$$\lim_{m\rightarrow \infty}f_m(x_0)$$

が存在して，

$$f(x_0) = \lim_{m\rightarrow \infty}f_m(x_0)$$

とおくと$f \in C[0,1]$です。

(証明)

$$\forall x \in [0,1], \, \forall \varepsilon > 0, \, \exists N, \, \forall n>N$$

$$\vert f(x+h)-f_n(x+h)\vert < \frac{\varepsilon}{3}$$

$$\vert f_n(x)-f(x)\vert < \frac{\varepsilon}{3}$$

これらより

$$\vert f(x+h)-f(x)\vert \le \vert f(x+h)-f_n(x+h)\vert+\vert f_n(x+h)-f_n(x)\vert+\vert f_n(x)-f(x)\vert$$

$$\le \frac{2}{3}\varepsilon +\vert f_n(x+h)+f_n(x)\vert$$

$f_n \in C[0,1]$だから

$$\forall \varepsilon, \, \exists \delta(\varepsilon), \, \vert h\vert<\delta$$

$$\vert f_n(x+h)-f_n(x)\vert <\frac{\varepsilon}{3}$$

したがって

$$\vert f(x+h)-f(x)\vert<\varepsilon$$

ゆえに$f \in C[0,1].$

(例1の証明の続き)
よって

$$% latex2html id marker 1474 \forall x_0 \in[0,1],\, \forall... ... \in \mbox{\boldmath $N$}, \, \forall m>N_2(\varepsilon,x_0)$$

$$\vert f_m(x_0) - f(x_0)\vert< \frac{ \varepsilon}{2}$$ (1.6)

(1.5),(1.6)より

$$% latex2html id marker 1476 \forall \varepsilon > 0,\, \ex... ...N$},\, \forall n > N_1(\varepsilon),\, \forall x_0 \in[0,1]$$

$$\exists N_3(\varepsilon,x_0) > N_1(\varepsilon),\, N_2(\varepsilon,x_0),\, \forall m > N_3(\varepsilon,x_0)$$

$$\vert f_n(x_0) - f(x_0)\vert \le \vert f_n(x_0) - f_m(x_0)\vert + \vert f_m(x_0) - f(x_0)\vert$$

$$< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon$$

$$よって\vert f_n(x_0)-f(x_0)\vert<\varepsilon$$

以上より

$$% latex2html id marker 1482 \forall \varepsilon > 0 ,\, \ex... ...ath $N$}, \, \forall n>N(\varepsilon),\, \forall x_0 \in [0,1]$$

$$\vert f_n(x_0)-f(x_0)\vert<\varepsilon$$

これより

$$% latex2html id marker 1486 \forall \varepsilon > 0 ,\, \exi... ...repsilon) \in \mbox{\boldmath $N$}, \, \forall n>N(\varepsilon)$$

$$\max_{x \in[0,1]}\vert f_n(x)-f(x)\vert<\varepsilon$$

$$∴\Vert f_n - f\Vert _C <\varepsilon$$

よって $n \rightarrow \infty$のとき

$$\Vert f_n - f\Vert _C \rightarrow 0$$

ゆえにCaushy列がつねに収束するので完備です。

例2 $f \in C[0,1]$のノルムを

$$\Vert f\Vert _l \mbox{$\stackrel{\triangle}{=}$}\int_0^1\vert f(x)\vert\,dx$$ (1.7)

と定義するとノルム空間になるがBanach空間にはなりません。
(証明) ノルム線形空間であることは前節を示しました。
完備でないことを示します。
$f_n(x) \in C[0,1]$を

$$f_n(x) = \left\{ \begin{array}{rl} -1 &\qquad \mbox{$0\leq ... ...x{$\frac{1}{2}+\frac{1}{n} \leq x \leq 1$} \end{array}\right.$$

とおけば$\{f_n\}$はこの空間でのCaushy列になりますが，その関数列の極限になっているような連続関数はありません。 したがって完備ではありません。

例3 $f \in C^1[0,1]$のノルムを

$$\Vert f\Vert _{C^1} \mbox{$\stackrel{\triangle}{=}$}\Vert f\Vert _C+\Vert f'\Vert _C$$

と定義するとBanach空間になります。これを証明する前に次の定理を示します。

定理 1.3.1   $f_n \in C^1[0,1]$の導関数$f'_n$からなる関数列$\{f'_n\}$が一様収束するとする。
さらに，$c \in [0,1]$に対して${f_n(c)}$は収束するとする。
このとき$f_n$からなる関数列$\{f_n\}$は一様収束し，かつ極限関数

$$\lim_{n \rightarrow \infty}f_n$$

は連続微分可能で，関係式

$$\forall x \in[0,1],\, \{\lim_{n \rightarrow \infty}f_n(x)\}' = \lim_{n \rightarrow \infty}f'_n(x)$$ (1.8)

が成り立つ。

(証明) 数列${f_n(c)}$が収束することから
$\forall \varepsilon >0$ に対して $\exists N \in \mbox{\boldmath$N$} , \,m>n>N$ならば

$$\vert f_m(c)-f_n(c)\vert< \frac{\varepsilon}{2}$$ (1.9)

また，関数列$\{f'_n\}$が一様収束することから，
同一の $\varepsilon,\,N$ について$m>n>N$ ならば $\forall x \in [0,1]$に対して

$$\vert f'_m(x)-f'_n(x)\vert<\frac{\varepsilon}{2}$$ (1.10)

となる。
$\{f_m - f_n\}$に平均値定理を適用すると， $\forall x \in [0,1]$に対して

$$\{f_m(x)-f_n(x)\}= \{f_m(c)-f_n(c)\}+(x-c)\{f'_m(\xi)-f'_n(\xi)\}, , \xi \in (x,c)or(c,x)$$

したがって(1.9),(1.10)により

$$\vert f_m(x)-f_n(x)\vert \le \vert f_m(c)-f_n(c)\vert+\vert f'_m(\xi)-f'_n(\xi)\vert$$

$$< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$$

以上より， $\forall \varepsilon >0$ に対して $m>n>N$ならば

$$\vert f_m(x)-f_n(x)\vert< \varepsilon$$

となるような，$x$に無関係である

$$N \in {\bf N}$$

が存在します。 すなわち，関数列$\{f_n\}$ は一様収束します。 したがって，

$$\lim_{n \rightarrow \infty}f_n$$

が存在します。
関数列$\{f'_n\}$は一様収束するので

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_c^x f'_n(t)\,dt = \int_c^x \lim_{n \rightarrow \infty} f'_n(t)\,dt$$

$$\lim_{n \rightarrow \infty}\{f_n(x)-f_n(c)\} = \int_c^x \lim_{n \rightarrow \infty} f'_n(t)\,dt$$

ところで，$\{f_n\}$と${f_n(c)}$ は収束するから

$$\lim_{n \rightarrow \infty}f_n(x)- \lim_{n \rightarrow \infty}f_n(c) =\int_c^x \lim_{n \rightarrow \infty} f'_n(t)\,dt$$

関数列 が一様収束し，各関数 が連続であるから，極限関数 は連続です。
したがって，右辺は連続関数の不定積分として連続微分可能です。
ゆえに，右辺は連続微分可能であって，微分すると

$$\forall x \in[0,1],\, \{\lim_{n \rightarrow \infty}f_n(x)\}' = \lim_{n \rightarrow \infty}f'_n(x)$$

となります。

(例3の証明) まずノルム空間であることを示します。
例1より $\Vert f\Vert _C \geq 0,\Vert f'\Vert _C \geq 0. \Vert f\Vert _C=0$のとき$f \equiv 0$ゆえに$f'\equiv0$

$$∴\Vert f\Vert _C+\Vert f'\Vert _C=\Vert f\Vert _{C^1} \geq 0 .等号はf \equiv 0のとき成立$$

$$\Vert f+g\Vert _{C^1} = \Vert f+g\Vert _C + \Vert f'+g'\Vert _C \le \Vert f\Vert _C + \Vert g\Vert _C +\Vert f'\Vert _C+\Vert g'\Vert _C$$

$$= \Vert f\Vert _C + \Vert f'\Vert _C + \Vert g\Vert _C + \Vert g'\Vert _C = \Vert f\Vert _{C^1}+\Vert g\Vert _{C^1}$$

$$\Vert\alpha f\Vert _{C^1} = \Vert\alpha f\Vert _C + \Vert(\alpha f)'\Vert _C =\vert\alpha\ver... ...\alpha\vert\Vert f'\Vert _C =\vert\alpha\vert(\Vert f\Vert _C+\Vert f'\Vert _C)$$

$$= \vert\alpha \vert\Vert f\Vert _{C^1}$$

以上より(正値性),(スカラー倍),(三角不等式)が示されノルム空間となります。 次に完備性を示します。
$f_n \in C^1[0,1]$からなる関数列$\{f_n\}$がCaushy列と仮定すると，

$$% latex2html id marker 734\forall \varepsilon >0, \, \exi... ...\, m,n>N \Rightarrow \Vert f_n - f_m\Vert _{C^1}<\varepsilon$$ (1.11)

式(1.11)より

$$\Vert f_n - f_m\Vert _C<\varepsilon$$

$$\Vert f'_n - f'_m\Vert _C<\varepsilon$$

とできます。すなわち $\{f_n\},\,\{f'_n\}$はCaushy列です。まず

$$f = \lim_{m \rightarrow \infty}f_m, \qquad f \in C[0,1]$$

が存在します。すなわち

$$\Vert f_n - f\Vert _C \rightarrow 0 \qquad (n\rightarrow \infty)$$ (1.12)

同様に

$$g = \lim_{n \rightarrow \infty}f'_n(x)$$

が存在しかつ$f' \in C[0,1]$です。すなわち

$$\Vert f'_n - g\Vert _C \rightarrow 0 \qquad (n\rightarrow \infty)$$

定理2.1より

$$f' = g$$

$$∴\Vert f'_n - f'\Vert _C \rightarrow 0 \qquad (n\rightarrow \infty)$$ (1.13)

(1.12),(1.13)より

$$\Vert f_n - f\Vert _{C^1} = \Vert f_n - f\Vert _C + \Vert f'_n - f'\Vert _C$$

$$\rightarrow 0\qquad (n\rightarrow \infty)$$

ゆえにCaushy列がつねに収束するので完備です。

例4 $f \in C^n[0,1]$のノルムを

$$\Vert f\Vert _{C^n} \mbox{$\stackrel{\triangle}{=}$}\sum_{i=0}^n \Vert f^{(i)}\Vert _C$$ (1.14)

で定義するとBanach空間になります。

(証明) まずノルム空間であることを示します。
例3と同様に

$$\Vert f\Vert _C \geq 0, \, \Vert f'\Vert _C \geq 0, \cdots ,\Vert f^{(n)}\Vert _C \geq 0$$

$$∴\Vert f\Vert _{C^n} = \sum_{i=0}^n \Vert f^{(i)}\Vert _C \geq 0.$$

$\Vert f\Vert _{C^n} = 0$ならば(正値性)と(1.14)より$f \equiv 0$.
$f \equiv 0$ならば $f' \equiv f''\equiv \cdots \equiv f^{(n)} \equiv 0$

$$∴\Vert f\Vert _{C^n} = \sum_{i=0}^n \Vert f^{(i)}\Vert _C = 0$$

$$\Vert f+g\Vert _{C^n} = \sum_{i=0}^n \Vert(f+g)^{(i)}\Vert _C =\sum_{i=0}^n \Vert f^{(i)}+g^{(i)}\Vert _C$$

$$\le \sum_{i=0}^n \Vert f^{(i)}\Vert _C+\sum_{i=0}^n \Vert g^{(i)}\Vert _C = \Vert f\Vert _{C^n} + \Vert g\Vert _{C^n}$$

$$\Vert \alpha f \Vert _{C^n} = \sum_{i=0}^n \Vert (\alpha f)^{(i)} \Vert _C =\vert \alpha \vert \sum_{i=0}^n \Vert f^{(i)} \Vert _C$$

$$= \vert\alpha \vert\Vert f\Vert _{C^n}$$

以上より(正値性),(スカラー倍),(三角不等式)が示されノルム空間となります。 次に完備性を示します。
帰納法を用いることにして$C^{n-1}[0,1]$がBanach空間であるとします。そして， 例3同様に $f_l \in C^n[0,1]$からなる関数列$\{f_l\}$がCaushy列と仮定すると，

$$% latex2html id marker 1630 \forall \varepsilon >0, \, \e... ...\, m,l>N \Rightarrow \Vert f_l - f_m\Vert _{C^n}<\varepsilon$$

$$\Vert f_l - f_m\Vert _C^n = \Vert f_l - f_m\Vert _{C^{n-1}} + \Vert f_l^n - f_m^n\Vert _C$$

$$= \Vert f_l - f_m\Vert _{C^{n-2}} + \Vert f_l^{n-1} - f_m^{n-1}\Vert _C^1$$

ゆえに，$\{f_l\}$は$C^{n-1}$のCaushy列です。
$C^{n-1}$をBanach空間と仮定したので，

$$よって\exists f \in C^{n-1}[0,1]$$

$$\Vert f_l - f\Vert _{C^{n-1}} \rightarrow 0 \qquad (l \rightarrow \infty)$$ (1.15)

$$よって\Vert f_l^{n-1}-f^{n-1}\Vert _C \rightarrow 0 \qquad (l \rightarrow \infty)$$ (1.16)

同様に，$\{f_l^{n-1}\}$は$C^1[0,1]$のCaushy列であるから例3より， $\{f_l^{n-1}\}$は$C^1[0,1]$のBanach空間になります。

$$∴\exists g \in C^1[0,1]$$

$$\Vert f_l^{n-1}-g\Vert _C^1 \rightarrow 0 \qquad (l \rightarrow \infty)$$

$$\Vert f_l^{n-1}-g\Vert _C \rightarrow 0 \qquad (l \rightarrow \infty)$$ (1.17)

$$\Vert f_l^n-g'\Vert _C \rightarrow 0 \qquad (l \rightarrow \infty)$$ (1.18)

ここで(1.16),(1.17)より，

$$\Vert f^{n-1} - g\Vert _C \le \Vert f^{n-1} - f_l^{n-1}\Vert _C + \Vert f_l^{n-1} - g\Vert _C$$

$$\rightarrow 0 \qquad (l \rightarrow \infty)$$

$$∴\Vert f^{n-1} - g\Vert _C = 0$$

ノルムの正値性より

$$f^{n-1} = g$$

$g\in C^1[0,1]$より $f^{n-1} \in C^1[0,1]$

$$∴f \in C^n[0,1]$$

$$\Vert f_l - f\Vert _{C^n} = \Vert f_l - f\Vert _{C^{n-1}} + \Vert f_l^n - f^n\Vert _C$$

$$= \Vert f_l - f\Vert _{C^{n-1}} + \Vert f_l^n - (f^{n-1})'\Vert _C$$

$$= \Vert f_l - f\Vert _{C^{n-1}} + \Vert f_l^n - g'\Vert _C$$

(1.15),(1.18)より

$$\Vert f_l - f\Vert _{C^n} \rightarrow 0 \qquad (l \rightarrow \infty)$$

以上より完備性が示されました。