関数空間

再び最初に扱った変分問題に戻りましょう。 それは汎関数

$$f \in C^1[0,1] \mapsto \ J(f) = \int_0^1\{f'(x)\}^2dx$$

を条件

$$f(0)=0, \ f(1)=1$$

で最小化(極小化)するものでした。

解法の手順は，まず， $\bar{f}$ がこの問題の極小解を与えるものとして，

$$g \in C^1[0,1], \ g(0)=0, \ g(1)=1$$

を任意に選び，

$$\Delta f(x) = g(x)- \bar{f}(x)$$

とおくと

$$\Delta f(x) \in C^1[0,1], \ \Delta f(0) = \Delta f(1) = 0$$

であり，

$$f(x) = \bar{f}(x)+h \Delta f(x),\ h \in \bf R, \ f \in C^1[0,1]$$

として，

$$J(h) = J(f) = \int_0^1 \left\{\frac{d}{dh}(\bar{f}(x) +h \Delta f(x))\right\}^2dx$$

とすると，実数値関数

$$J \ : \ \bf R \ \to \ \bf R$$

が定義され $J(h)$ は $h=0$ で 極小になりました。 これから

$$\left. \frac{dJ(h)}{dh} \right\vert _{h=0} = 2 \int_0^1 \bar{f}'(x) \Delta f'(x)dx$$

得て，ハールの補題を適用した。

これは$g\in C^1[0,1]$を介在させて，

$$\Delta f(x)$$

に沿った， $J(f+h \Delta f)$の$J(f)$からの変動を計算したことになります。

ここで，関数の集合

$$E = \{f \in C^1[0,1], \ f(0)=0, \ f(1)=1 \}$$

から$\bf R$への写像

$$J \ : \ E \to \bf R$$

について何らかの意味の微分の概念を導入し 実数値関数の極小条件

$$% latex2html id marker 960 \left. \frac{dJ(f)}{df} \right\vert _{f = \bar{f}} = 0$$

のような扱いはできないものでしょうか？

よく知られるように実数値関数

$$\varphi \ : \ \bf R \to \bf R$$

の $x = \bar{x}$ での $\varphi'(\bar{x})$は

$$\varphi'(\bar{x}) = \lim_{h \to 0} \frac{\varphi'(\bar{x}+h) - \varphi(\bar{x})}{h}$$

で定義されています。
これと同様な考えかたと定義を関数の集合$E$上の関数 $J(f), \quad f \in E$ に持ち込もうというのです。

$E$の要素間に―演算や極限操作を行うための距離―など実数の集合${\bf R}$やそれから作られる$n$次元数ベクトル空間${\bf R^n}$と同じような 性質が定義されている必要があるでしょう。