解釈

　述語論理は対象領域${\bf D}$が具体的に与えられて初めて具体的な意味をもつ。 述語の真理値も決定される。
　

前節で定義された項と論理式は， 特定の対象を表す記号である対象定数記号，${\bf D}$上の変数を表す対象変数記号， ${\bf D}$から${\bf D}$への関数を表す関数記号および${\bf D}$上の述語を表す述語記号から作られた記号列に過ぎない。
これらの記号列が3.1節で与えた対象領域上の特定の述語と，述語の論理演算として真理値を確定するためには，以下の対応を与える必要がある。

1. 対象変数記号と${\bf D}$の要素との対応
   これを
   

   $$\alpha :x \in {公理系の対象変数記号全体の集合} \mapsto \alpha(x) \in {\bf D}$$ (4.44)

   
   
   で表す。
2. 対象定数記号と${\bf D}$の要素との対応
   対象定数記号は$0$関数記号とみなし， 関数記号と ${\bf D}$上の関数との対応の特別な場合に含める。
3. 関数記号と${\bf D}$上の関数との対応
   ${\cal F}^n$で$n$変数の関数記号の全体を，
   

   $${\cal F}({\bf D}^n,{\bf D}) =\{ f \vert f :(x_1,x_2,\cdots... ... {\bf D}^n \mapsto \phi (x_1,x_2,\cdots,x_n) \in {\bf D} \}$$ (4.45)

   
   
   を${\bf D}$上の関数全体の集合とし，これらの間の対応を
   

   $${\bf\phi }^n \in {\cal F}^n \mapsto \rho({\bf\phi }^n) \in {\cal F}({\bf D}^n,{\bf D})$$

   $$\rho({\bf\phi }^n) :(x_1,x_2,\cdots,x_n) \in {\bf D} \mapsto \rho ({\bf\phi }^n)(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$ (4.46)

   
   
   で表す。
4. 述語記号と${\bf D}$上の述語との対応
   真理値の集合を ${\bf V}=\{T,F\}$， ${\cal P}^n$を$n$変数の述語記号の全体の集合として,
   

   $${\cal P}({\bf D}^n;{\bf V}) =\{ P \vert P :(y_1,y_2,\cdot... ... \in {\bf D}^n \mapsto P(y_1,y_2,\cdots,y_n) \in {\bf V} \}$$ (4.47)

   
   
   を${\bf D}$上の$n$変数の述語全体の集合とする。
   これらの間の対応を
   

   $${\bf P }^n \in {\cal P}^n \mapsto \pi({\bf P }^n) \in {\cal P}({\bf D}^n;{\bf V})$$

   $$\qquad \pi({\bf P }^n) :(y_1,y_2,\cdots,y_n) \in {\bf D} \mapsto \pi({\bf P}^n)(x_1,x_2,\cdots,x_n) \in {\bf V}$$

   $$\,$$ (4.48)

   
   
   で表す。

$${\cal M}=({\bf D},\rho,\pi)$$ (4.49)

を解釈という。

解釈 ${\cal M}=({\bf D},\rho,\pi)$と対象変数記号と${\bf D}$の要素 との対応$\alpha$を用いて，項に${\bf D}$の要素を対応させ，論理式にはその真理値を対応させる作用 $\tau({\cal M},{\bf\alpha})[ \cdot ]$を以下のように帰納的に定める。

1. 項の値
   1. 対象変数記号$x_i$に対しては
      

      $$\tau({\cal M},{\bf\alpha})[x_i]=\alpha(x_i)$$ (4.50)

      
      

   2. 対象定数記号$c_i$に対しては，これは$0$変数の関数 であり，
      

      $$\tau({\cal M},{\bf\alpha})[c_i]=\rho(c_i)$$ (4.51)

      
      

   3. $s_1,s_2,\cdots,s_n$が項で,それぞれ, ${\bf D},{\bf\alpha}$での値が
      

      $$\tau({\cal M},{\bf\alpha})[s_i],i=1,\cdots,n$$ (4.52)

      
      
      のとき,$n$変数関数${\bf\phi}^n$については

      
      

      $$\tau({\cal M},{\bf\alpha})[{\bf\phi}^n(s_1,s_2,\cdots,s_n)... ...M},{\bf\alpha})[s_2],\cdots,\tau({\cal M},{\bf\alpha})[s_n])$$ (4.53)

      
      

2. 論理式の値

   　

   1. ${\bf P } ^n$が$n$変数の述語変数記号で, $s_1,s_2,\cdots,s_n$が項のとき,

      
      

      $$\tau({\cal M},{\bf\alpha})[{\bf P}^n(s_1,s_2,\cdots,s_n)] ... ...},{\bf\alpha}) [s_2],\cdots,\tau({\cal M},{\bf\alpha})[s_n])$$ (4.54)

      
      

   2. 特に$0$変数の述語記号すなわち命題記号${\bf P }^0$には ${\bf V}=\{T,F\}$ の要素である真理値を 　　
      

      $$\tau({\cal M},{\bf\alpha})[{\bf P}^0]=\pi({\bf P}^0) \in {\bf V}$$ (4.55)

      
      
      で対応させる。
   3. ${\cal A}$ が論理式ならば、
      

      $$\tau({\cal M},{\bf\alpha})[\neg{\cal A}]=\neg \tau[{\cal M},{\bf\alpha}] ({\cal A})$$ (4.56)

      
      

   4. ${\cal A,B}$ が論理式ならば、
      

      $$\tau({\cal M},{\bf\alpha})[{\cal A} \land {\cal B}] =\tau(... ...\alpha})[{\cal A}] \land \tau({\cal M},{\bf\alpha})[{\cal B}]$$ (4.57)

      
      

      
      

      $$\tau({\cal M},{\bf\alpha})({\cal A} \lor {\cal B}) =\tau({... ...f\alpha})({\cal A}) \lor \tau({\cal M},{\bf\alpha})({\cal B})$$ (4.58)

      
      

   5. ${\cal C}(a)$ が変数記号$a$を論理式で，$a$が自由変数記号のとき， $x$を${\cal C}(a)$の中に現れない対象変数記号ならば

      
      

      $$\tau({\cal M},{\bf\alpha})[(\forall x)({\cal C}(x))] =\bigwedge_{b \in {\bf D}}\tau({\cal M},{\bf\alpha})[{\cal C}](b)$$ (4.59)

      
      
      
      

      $$\tau({\cal M},{\bf\alpha})[(\exists x)({\cal C}(x) ) ] =\bigvee_{b \in {\bf D}}\tau({\cal M},{\bf\alpha})[{\cal C}](b)$$ (4.60)

      
      
      例えば ${\bf D}$が有限集合 $\{ a_1,a_2,\cdots,a_n \}$とし， ${\bf C}(x,y,z)$が３変数の述語とする。

      対象変数記号$x$,対象定数記号$c$に対して，
      

      $$\tau({\cal M},{\bf\alpha})[x]=\alpha(x)=a_1$$

      $$\tau({\cal M},{\bf\alpha})[c]=\rho(c)=a_3$$ (4.61)

      
      
      とすると
      

      $$\tau({\cal M},{\bf\alpha})[(\forall z)({\cal C}(x,c,z)) ] =\bigwedge_{b \in {\bf D}}\tau({\cal M},{\bf\alpha})[{\cal C}(x,c,b))]$$

      $$=\bigwedge_{b \in {\bf D}}\pi({\cal C})(\tau({\cal M},{\bf\alpha})[x], \tau({\cal M},{\bf\alpha})[c],b)$$

      $$=\pi({\cal C})(a_1,a_3,a_1) \land \pi({\cal C})(a_1,a_3,a_2) \land \pi({\cal C})(a_1,a_3,a_3) \land \cdots \land \pi({\cal C})(a_1,a_3,a_n)$$

      $$\,$$ (4.62)

      
      
      
      

      $$\tau({\cal M},{\bf\alpha})[(\exists z)({\cal C}(x,c,z)) ] =\bigvee_{b \in {\bf D}}\tau({\cal M},{\bf\alpha})[{\cal C}(x,c,b))]$$

      $$=\bigvee_{b \in {\bf D}}\pi({\cal C})(\tau({\cal M},{\bf\alpha})[x], \tau({\cal M},{\bf\alpha})[c],b)$$

      $$=\pi({\cal C})(a_1,a_3,a_1) \lor \pi({\cal C})(a_1,a_3,a_2) \lor \pi({\cal C})(a_1,a_3,a_3) \lor \cdots \lor \pi({\cal C})(a_1,a_3,a_n)$$

      $$\,$$ (4.63)